解：用6种颜色给4个相邻的格子涂色，最多有多少种涂法？

1. **2色涂法**：

选择2种颜色有 \( C(6, 2) = 15 \) 种方法。然后用这两种颜色涂色，相邻格子只能用不同颜色，涂色方式有 \( 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16 \) 种。所以总共有 \( 15 \times 16 = 240 \) 种涂色方法。

2. **3色涂法**：

选择3种颜色有 \( C(6, 3) = 20 \) 种方法。然后根据涂色规则，第一格可以选3种颜色，第二格选2种，第三格选2种，第四格选2种。涂色方法有 \( 3 \times 2 \times 2 \times 2 = 24 \) 种。所以总共有 \( 20 \times 24 = 480 \) 种涂色方法。

3. **4色涂法**：

选择4种颜色有 \( C(6, 4) = 15 \) 种方法。根据涂色规则，涂色的选择过程和之前相同。总共有 \( 15 \times 24 = 360 \) 种涂色方法。

4. **5色涂法**：

选择5种颜色有 \( C(6, 5) = 6 \) 种方法。涂色选择与前述相同，结果为 \( 6 \times 24 = 144 \) 种涂色方法。

5. **6色涂法**：

选择6种颜色有 \( C(6, 6) = 1 \) 种方法。涂色选择与前述相同，结果为 \( 1 \times 24 = 24 \) 种涂色方法。

**总结**：

所有的涂色方法数为 \( 240 + 480 + 360 + 144 + 24 = 1248 \) 种方法。